Трансфинитные числа - definizione. Che cos'è Трансфинитные числа
Diclib.com
Dizionario ChatGPT
Inserisci una parola o una frase in qualsiasi lingua 👆
Lingua:

Traduzione e analisi delle parole tramite l'intelligenza artificiale ChatGPT

In questa pagina puoi ottenere un'analisi dettagliata di una parola o frase, prodotta utilizzando la migliore tecnologia di intelligenza artificiale fino ad oggi:

  • come viene usata la parola
  • frequenza di utilizzo
  • è usato più spesso nel discorso orale o scritto
  • opzioni di traduzione delle parole
  • esempi di utilizzo (varie frasi con traduzione)
  • etimologia

Cosa (chi) è Трансфинитные числа - definizione

ПОРЯДКОВЫЙ ТИП ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННОГО МНОЖЕСТВА
Трансфинитное число; Ординал; Трансфинитные числа; Ординальное число; Порядковые числа; Ординальные числа; Арифметика порядковых чисел; Ординалы фон Неймана
  • Схематичное представление ординала <math>\omega^2</math>. Каждая черта соответствует порядковому числу вида <math>\omega \cdot m + n</math>, где <math>m</math> и <math>n</math> — натуральные числа.

Трансфинитные числа         
(îò Òðàíñ... и лат. finitus - ограниченный)

обобщённые порядковые числа. Определение Т. ч. опирается на понятие вполне упорядоченного множества (см. Упорядоченные и частично упорядоченные множества). Каждое конечное множество можно сделать вполне упорядоченным, выписав все его элементы в определённом порядке. Простейшим примером бесконечного вполне упорядоченного множества является множество всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания; то же множество, расположенное в порядке убывания (так что большее считается предшествующим меньшему), уже не будет вполне упорядоченным, так как ни одно его бесконечное подмножество не имеет первого элемента. Два упорядоченных множества Х и Y называются подобными или имеющими один и тот же порядковый тип, если между их элементами можно установить Взаимно однозначное соответствие, сохраняющее порядок элементов (то есть такое, что для любых двух элементов x', х" множества Х и соответствующих им элементов y', у" множества Y из x'<x" следует у'<у" и обратно). Все конечные вполне упорядоченные множества, содержащие одинаковое число элементов, подобны между собой. Поэтому порядковые типы конечных вполне упорядоченных множеств можно отождествить с натуральными числами, которые появляются, таким образом, как порядковые числа (тогда как, характеризуя количество элементов множества, те же натуральные числа выступают в другом своём аспекте - количественных чисел).

Трансфинитными числами называются порядковые типы бесконечных вполне упорядоченных множеств. Тем самым понятие Т. ч. представляет собой распространение понятия порядкового числа на бесконечные множества. Аналогичное обобщение понятия количественного числа приводит к понятию мощности множества (См. Мощность множества). Так как неравномощные множества нельзя поставить во взаимно однозначное соответствие, то вполне упорядоченным множествам различной мощности соответствуют различные Т. ч. Однако обратное (в отличие от случая конечных множеств) неверно: бесконечные вполне упорядоченные множества могут быть равномощными, не будучи подобными и тем самым определяя различные Т. ч.

Для Т. ч. можно ввести понятия "больше" и "меньше". Именно, Т. ч. α, по определению, меньше Т. ч. β (α < β), если какое-либо (а значит, и любое) вполне упорядоченное множество типа α подобно некоторому отрезку какого-нибудь (а следовательно, и любого) множества типа β (отрезком вполне упорядоченного множества, отсеченным элементом х, называется подмножество его элементов, предшествующих х). При этом доказывается, что для любых двух Т. ч. α и β всегда осуществляется один и только один из трёх случаев: либо α < β, либо α = β, либо α > β.

В применении Т. ч. к различным вопросам математики важную роль играет принцип трансфинитной индукции, обобщающий обычный принцип математической индукции (См. Математическая индукция) на произвольные вполне упорядоченные множества: если некоторое предложение верно для первого элемента вполне упорядоченного множества Х и если из того, что оно верно для всех элементов множества X, предшествующих данному элементу x из множества X, следует его справедливость и для элемента х, то это предложение верно для каждого элемента множества X.

Порядковое число         
В теории множеств порядковым числом, или ординалом ( — порядковый) называется порядковый тип вполне упорядоченного множества. Как правило, порядковые числа отождествляются с наследственно транзитивными множествами. Ординалы представляют собой одно из расширений натуральных чисел, отличающееся как от целых, так и от кардинальных чисел. Как и другие разновидности чисел, их можно складывать, перемножать и возводить в степень. Бесконечные порядковые числа называют трансфинитными ( — за, через +  — край, предел). Ординалы играют ключевую роль в доказател
Ординальное число         
(от позднелат. ordinalis - порядковый)

порядковое число; см. Число, Трансфинитные числа.

Wikipedia

Порядковое число

В теории множеств порядковым числом, или ординалом (лат. ordinalis — порядковый) называется порядковый тип вполне упорядоченного множества. Как правило, порядковые числа отождествляются с наследственно транзитивными множествами. Ординалы представляют собой одно из расширений натуральных чисел, отличающееся как от целых, так и от кардинальных чисел. Как и другие разновидности чисел, их можно складывать, перемножать и возводить в степень. Бесконечные порядковые числа называют трансфинитными (лат. trans — за, через + finitio — край, предел). Ординалы играют ключевую роль в доказательстве многих теорем теории множеств — в частности, благодаря связанному с ними принципу трансфинитной индукции.

Порядковые числа были введены Георгом Кантором в 1883 году как способ описания бесконечных последовательностей, а также классификации множеств, обладающих определённой упорядоченной структурой. Он случайно открыл порядковые числа, работая над задачей, связанной с тригонометрическими рядами.

Множества S {\displaystyle S} и S {\displaystyle S'} обладают одинаковой мощностью, если между ними можно установить биективное соответствие (то есть указать такую функцию f {\displaystyle f} , которая одновременно является инъективной и сюръективной: каждому x {\displaystyle x} из S {\displaystyle S} соответствует единственное y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} из S {\displaystyle S'} , а каждое y {\displaystyle y} из S {\displaystyle S'} является образом единственного x {\displaystyle x} из S {\displaystyle S} ).

Предположим, что на множествах S {\displaystyle S} и S {\displaystyle S'} заданы частичные порядки < {\displaystyle <} и < {\displaystyle <'} соответственно. Тогда частично упорядоченные множества ( S , < ) {\displaystyle (S,<)} и ( S , < ) {\displaystyle (S',<')} называются изоморфными с сохранением порядка, если существует биективное отображение f {\displaystyle f} , при котором заданный порядок сохраняется. Иначе говоря, f ( a ) < f ( b ) {\displaystyle f(a)<'f(b)} тогда и только тогда, когда a < b {\displaystyle a<b} . Любое вполне упорядоченное множество ( S , < ) {\displaystyle (S,<)} изоморфно с сохранением порядка по отношению к естественно упорядоченному множеству порядковых чисел, меньших некоторого определённого ординала (равного порядковому типу ( S , < ) {\displaystyle (S,<)} ).

Конечные порядковые (и кардинальные) числа представляют собой числа натурального ряда: 0, 1, 2, …, поскольку два любых полных упорядочения конечного множества изоморфны с сохранением порядка. Наименьшее бесконечно большое порядковое число ω {\displaystyle \omega } отождествляется с кардинальным числом 0 {\displaystyle \aleph _{0}} . Однако в случае трансфинитных чисел, больших ω {\displaystyle \omega } , ординалы — по сравнению с кардинальными числами — позволяют выразить более тонкую классификацию множеств, основанную на информации об их упорядоченности. В то время как все счетные множества описываются одним кардинальным числом, равным 0 {\displaystyle \aleph _{0}} , число счетных ординалов бесконечно велико и притом несчетно:

ω , ω + 1 , ω + 2 , , ω 2 , ω 2 + 1 , , ω 2 , , ω 3 , , ω ω , , ω ω ω , , ε 0 , . . . {\displaystyle \omega ,\omega +1,\omega +2,\dots ,\omega \cdot 2,\omega \cdot 2+1,\dots ,\omega ^{2},\dots ,\omega ^{3},\dots ,\omega ^{\omega },\dots ,\omega ^{\omega ^{\omega }},\dots ,\varepsilon _{0},...}

В данном случае сложение и умножение не обладают свойством коммутативности: так, 1 + ω {\displaystyle 1+\omega } совпадает с ω {\displaystyle \omega } , но отличается от ω + 1 {\displaystyle \omega +1} ; аналогично 2 ω = ω {\displaystyle 2\cdot \omega =\omega } , но не равно ω 2 {\displaystyle \omega \cdot 2} . Множество всех счетных ординалов образует первое несчетное порядковое число ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} , соответствующее кардинальному числу 1 {\displaystyle \aleph _{1}} (следующее число после 0 {\displaystyle \aleph _{0}} ). Вполне упорядоченные кардинальные числа отождествляются с их начальными ординалами, то есть минимальными ординалами соответствующей мощности. Мощность порядкового числа задает между классами порядковых и кардинальных чисел соответствие по типу «многие к одному».

Обычно произвольный ординал α {\displaystyle \alpha } определяется как порядковый тип множества ординалов, строго меньших α {\displaystyle \alpha } . Данное свойство позволяет представить любое порядковое число в виде множества ординалов, строго меньших его самого. Все порядковые числа можно разбить на три категории: нуль, следующее порядковое число и предельное порядковое число (последние различаются своей конфинальностью). Для заданного класса порядковых чисел можно указать его α {\displaystyle \alpha } -й элемент — иначе говоря, элементы класса можно проиндексировать (сосчитать). Такой класс будет замкнутым и неограниченным при условии, что функция индексирования непрерывна и никогда не останавливается. Нормальная форма Кантора позволяет единственным образом представить любое порядковое число в виде конечной суммы порядковых степеней ω {\displaystyle \omega } . Тем не менее, такая форма не может использоваться в качестве основы для универсальной системы обозначения порядковых чисел из-за наличия в ней автореферентных представлений: например, ε 0 = ω ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}=\omega ^{\varepsilon _{0}}} .

Можно определять все более крупные порядковые числа, однако по мере роста их описание усложняется. Любое порядковое число можно представить в виде топологического пространства, приписав ему порядковую топологию.

Такая топология будет дискретной, тогда и только тогда, когда соответствующий ординал не превышает счётного кардинального числа, то есть меньше или равен ω {\displaystyle \omega } . Подмножество ω + 1 {\displaystyle \omega +1} будет открытым в порядковой топологии тогда и только тогда, когда оно является кофинитным или не содержит ω {\displaystyle \omega } в качестве элемента.

Che cos'è Трансфин<font color="red">и</font>тные ч<font color="red">и</font>сла - definizione